期權的平價(jià)公式（PUT-CALL PARITY）以及無(wú)風(fēng)險套利
發(fā)布時(shí)間：2020-09-22 16:11:19
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歐式期權PCP平價(jià)公式（假設標的資產(chǎn)不付紅利）
首先定義如下符號以方便描述：S為標的資產(chǎn)現價(jià)；X為期權行權價(jià)格；T為期權的到期時(shí)間；t為當前時(shí)間；r為無(wú)風(fēng)險利率（連續復利）；C為看漲期權的價(jià)值；P為看跌期權的價(jià)值。
組合1： 看漲期權C+現金（行權價(jià)格的無(wú)風(fēng)險貼現值）
組合2： 看跌期權P+標的資產(chǎn)
在T時(shí)刻，組合A的價(jià)值：若在T時(shí)刻股票價(jià)格S≥X,則在T時(shí)刻組合A的價(jià)值為看漲期權的價(jià)值S－X加上現金資產(chǎn)X,即S－X +X=S；若在T時(shí)刻股票價(jià)格S＜X,則在T時(shí)刻組合A的價(jià)值為看漲期權的價(jià)值0 加上現金資產(chǎn)X，即0+X=X。
在T時(shí)刻，組合B的價(jià)值：若在T時(shí)刻股票價(jià)格S≥X,則在T時(shí)刻組合B的價(jià)值為看跌期權的價(jià)值0 加上股票價(jià)值S，即0+S = S。若在T時(shí)刻股票價(jià)格S＜X,則在T時(shí)刻組合B的價(jià)值為看跌期權的價(jià)值X-S加上股票價(jià)值S，即X-S+S=X。
A、B兩個(gè)組合價(jià)值
綜上所述，在到期日T時(shí)刻，無(wú)論股票價(jià)格如何變動(dòng)，組合A的價(jià)值總是等于組合B的價(jià)值。由此可得，組合A與組合B在當前時(shí)刻的價(jià)值也應該相同，否則存在無(wú)風(fēng)險套利機會(huì )。因此，具有同樣行權價(jià)格和到期日的歐式看漲期權和看跌期權當前理論價(jià)格滿(mǎn)足以下的關(guān)系。
C+Ke^(-rT)=P+S
套利是指利用兩種或更多產(chǎn)品價(jià)格之間的不合理關(guān)系而獲取確定性盈利的交易方式。當期權的交易價(jià)格明顯偏離其理論定價(jià)時(shí)，就出現無(wú)風(fēng)險套利機會(huì )。下面主要從期權價(jià)格的上下限方面來(lái)討論錯誤定價(jià)帶來(lái)的無(wú)風(fēng)險套利機會(huì )。
看漲期權的持有者有權以某一確定的價(jià)格購買(mǎi)約定數量的標的資產(chǎn)。在任何情況下，期權的價(jià)值都不會(huì )超過(guò)標的資產(chǎn)的價(jià)值。因此，標的資產(chǎn)價(jià)格就是看漲期權的價(jià)格上限：C≤S 。如果實(shí)際情況違反了這一關(guān)系，則套利者通過(guò)購買(mǎi)標的資產(chǎn)并賣(mài)出看漲期權，可獲得無(wú)風(fēng)險收益。
看跌期權的持有者有權以X的價(jià)格出售約定數量的標的資產(chǎn)。無(wú)論標的資產(chǎn)價(jià)格變得多么低，期權的價(jià)值都不會(huì )超過(guò)X。因此，行權時(shí)看跌期權的價(jià)格上限：P≤X。
對于歐式看跌期權，由于T時(shí)刻期權的價(jià)值不會(huì )超過(guò)X，因此可以將其價(jià)格上限進(jìn)一步確定為：P≤Xe-rt，即歐式看跌期權的價(jià)格不會(huì )超過(guò)其行權價(jià)格X的現值。如果不存在這一關(guān)系，則套利者可以出售期權并將所有收入以無(wú)風(fēng)險利率投資，獲取無(wú)風(fēng)險套利。
首先定義如下符號以方便描述：S為標的資產(chǎn)現價(jià)；X為期權行權價(jià)格；T為期權的到期時(shí)間；t為當前時(shí)間；r為無(wú)風(fēng)險利率（連續復利）；C為看漲期權的價(jià)值；P為看跌期權的價(jià)值。
組合1： 看漲期權C+現金（行權價(jià)格的無(wú)風(fēng)險貼現值）
組合2： 看跌期權P+標的資產(chǎn)
在T時(shí)刻，組合A的價(jià)值：若在T時(shí)刻股票價(jià)格S≥X,則在T時(shí)刻組合A的價(jià)值為看漲期權的價(jià)值S－X加上現金資產(chǎn)X,即S－X +X=S；若在T時(shí)刻股票價(jià)格S＜X,則在T時(shí)刻組合A的價(jià)值為看漲期權的價(jià)值0 加上現金資產(chǎn)X，即0+X=X。
在T時(shí)刻，組合B的價(jià)值：若在T時(shí)刻股票價(jià)格S≥X,則在T時(shí)刻組合B的價(jià)值為看跌期權的價(jià)值0 加上股票價(jià)值S，即0+S = S。若在T時(shí)刻股票價(jià)格S＜X,則在T時(shí)刻組合B的價(jià)值為看跌期權的價(jià)值X-S加上股票價(jià)值S，即X-S+S=X。
A、B兩個(gè)組合價(jià)值
S≥X S＜X
組合A Call在T時(shí)刻的價(jià)值 S－X 0
現金在T時(shí)刻的價(jià)值 X X
組合A在T時(shí)刻總價(jià)值 S X
組合B Put在T時(shí)刻的價(jià)值 0 X-S
股票在T時(shí)刻的價(jià)值 S S
組合B在T時(shí)刻總價(jià)值 S X
綜上所述，在到期日T時(shí)刻，無(wú)論股票價(jià)格如何變動(dòng)，組合A的價(jià)值總是等于組合B的價(jià)值。由此可得，組合A與組合B在當前時(shí)刻的價(jià)值也應該相同，否則存在無(wú)風(fēng)險套利機會(huì )。因此，具有同樣行權價(jià)格和到期日的歐式看漲期權和看跌期權當前理論價(jià)格滿(mǎn)足以下的關(guān)系。
C+Ke^(-rT)=P+S
套利是指利用兩種或更多產(chǎn)品價(jià)格之間的不合理關(guān)系而獲取確定性盈利的交易方式。當期權的交易價(jià)格明顯偏離其理論定價(jià)時(shí)，就出現無(wú)風(fēng)險套利機會(huì )。下面主要從期權價(jià)格的上下限方面來(lái)討論錯誤定價(jià)帶來(lái)的無(wú)風(fēng)險套利機會(huì )。
看漲期權的持有者有權以某一確定的價(jià)格購買(mǎi)約定數量的標的資產(chǎn)。在任何情況下，期權的價(jià)值都不會(huì )超過(guò)標的資產(chǎn)的價(jià)值。因此，標的資產(chǎn)價(jià)格就是看漲期權的價(jià)格上限：C≤S 。如果實(shí)際情況違反了這一關(guān)系，則套利者通過(guò)購買(mǎi)標的資產(chǎn)并賣(mài)出看漲期權，可獲得無(wú)風(fēng)險收益。
看跌期權的持有者有權以X的價(jià)格出售約定數量的標的資產(chǎn)。無(wú)論標的資產(chǎn)價(jià)格變得多么低，期權的價(jià)值都不會(huì )超過(guò)X。因此，行權時(shí)看跌期權的價(jià)格上限：P≤X。
對于歐式看跌期權，由于T時(shí)刻期權的價(jià)值不會(huì )超過(guò)X，因此可以將其價(jià)格上限進(jìn)一步確定為：P≤Xe-rt，即歐式看跌期權的價(jià)格不會(huì )超過(guò)其行權價(jià)格X的現值。如果不存在這一關(guān)系，則套利者可以出售期權并將所有收入以無(wú)風(fēng)險利率投資，獲取無(wú)風(fēng)險套利。
